Vad är decimaler på pi

Talet π (pi), även kallat Arkimedes konstant, existerar enstaka matematisk konstant likt representerar förhållandet mellan ett cirkelsomkrets samt diameter.

Det vanligaste närmevärdet när man genomför beräkningar med talet π är att man avrundar talet π ≈ 3,14

Dess värde existerar knappt 3,1416 dock då talet existerar irrationellt förmå detta inte någonsin tecknas ut precist tillsammans med siffror. Beteckningen π infördes troligen 1706, ifrån den inledande bokstaven inom detta grekiska termen till omkrets, περιφέρεια (periferi). π existerar ofta approximerad likt 3,14^[1] samt ett rationell approximation liksom existerar användbar på grund av flera syften existerar 22/7, alternativt förbättrad 355/113.^[2]

Historik

[redigera | redigera wikitext]

De allra första kända uppskattningarna från π:s värde härstammar ifrån tiden cirka numeriskt värde årtusenden f.Kr.

då babylonierna använde värdet 25/8 = 3,125, samt egyptierna i enlighet med Rhindpapyrusen uppskattade π mot 256/81 ≈ 3,16. Arkimedes överträffade cirka 250 f.Kr. dessa utfall då han tillsammans med ett geometrisk konstruktion visade för att π måste ligga ner mellan 223/71 samt 22/7, motsvarande enstaka noggrannhet vid ett grupp inom tredjeplats decimalen.

Världsrekordet i antalet memoriserade decimaler av Pi har skjutit gränserna för vad vi tror är möjligt för det mänskliga minnet

avgörande framsteg gjordes beneath nästföljande dryga 1500 kalenderår från arabiska, kinesiska samt från indien matematiker, kulminerande cirka 1400 tillsammans med Madhavas kalkyl från 11 korrekta decimaler, överträffad från Ghiyath al-Kashis 16 några kalenderår senare. Den tyske 1500-talsmatematikern Ludolph van Ceulen vigde större delen från sitt liv åt för att beräkna π tillsammans med Arkimedes metod; denne lyckades avgöra talet tillsammans med 35 decimaler samt detta besitter inom äldre nederländsk litteratur kallats Ludolphs tal.

Den matematiska analysen besitter gett upphov mot serier samt iterationer på grund av π:s exakta värde såsom inom princip utför detta möjligt för att beräkna talet tillsammans med önskad noggrannhet. modell existerar François Viètes formel ifrån 1593

Gottfried Leibniz formel

och John Wallis vara

Först för att nå 100 decimaler plats John Machin, såsom 1706 använde den för tillfället berömda Machins formel,

kombinerad tillsammans med Taylorserien till arctan.

Efter honom lyckades 1800-talets matematiker beräkna hundratals decimaler till grabb. Sedan mitten från 1900-talet äger datorer gjort detta möjligt för att beräkna tusentals, miljontals, miljardtals samt biljontals decimaler från π.

Den oändliga decimalutvecklingen besitter inom sig fascinerat. Trots för att dem inledande 50 decimalerna räcker till för att beräkna detta synliga universums omkrets tillsammans ett noggrannhet från ett atomkärnas storlek äger detta blivit något från enstaka tävling inom för att beräkna π tillsammans med därför flera decimaler liksom möjligt – detta senaste rekordet ligger vid 31,4 tusen miljarder (31 415 926 535 897) stycken.^[3]

Egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

I dagligt bruk avrundas π ofta mot 3,14^[4], även angående decimalerna fortsätter inom oändlighet utan för att uppvisa någon regelbundenhet.^[5] Talet existerar irrationellt samt transcendent, detta önskar säga: detta kunna ej tecknas vilket en bråk mellan numeriskt värde heltal, samt detta är kapabel ej uttryckas algebraiskt.

detta innebär för att cirkelns geometriska attribut ej är kapabel uttryckas detaljerad utan talet π samt för att cirkelns kvadratur existerar en bekymmer såsom ej äger någon svar.

Dess värde är knappt 3,1416 men då talet är irrationellt kan det aldrig skrivas ut exakt med siffror

Utöver dessa attribut existerar π intressant eftersom detta dyker upp vid flera olika håll inom matematiken, somliga mot synes helt utan koppling mot detta geometriska ursprunget. Talet besitter studerats från framstående matematiker beneath samtliga tider, dock flera ämnen existerar ännu ouppklarade.^[5][6][7] detta existerar ej ovanligt för att talet approximeras tillsammans med 22/7 (ungefär 3,143) inom beräkningar, vilket förmå härledas mot Arkimedes.

Beteckningen π, likt härstammar ifrån detta grekiska termen περιφέρεια (periferi), valdes 1706 från William Jones till för att beteckna talet samt standardiserades identisk århundrade genom Leonhard Euler.^[5] detta råder delade meningar ovan om tecknet π bör tecknas inom linjär stil alternativt lutande (π alternativt π).

SIS att föreslå eller råda något linjär stil vilket beskrives inom den svenska standarden SS 03 61 07 - Grafisk teknik – Sättningsregler – Matematik samt kemi.

Matematiska egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

Att π existerar irrationellt bevisades 1761 från Johann Heinrich Lambert. Dess transcendens bevisades 1882 från Ferdinand von Lindemann.^[5]

Den maximalt gäckande ouppklarade frågan existerar om π existerar normalt, detta önskar yttra angående varenda siffror samt sifferkombinationer, inom varenda baser, förekommer tillsammans med identisk sannolikhet såsom ifall talet vore helt "slumpmässigt".

Statistiska undersökningar från miljardtals siffror vilket beräknats tillsammans med datorer pekar åt detta hållet, dock matematiska bevis saknas. David H. Bailey samt Richard E. Crandall visade dock kalenderår 2000 för att π existerar normalt inom basen numeriskt värde angående ett trolig ett antagande eller en förklaring som föreslås för att förklara något ifrån kaosteorin existerar sann.^[8]

Det existerar även okänt om π samt e existerar algebraiskt oberoende, dock detta existerar känt för att åtminstone detta en från πe samt π + e existerar transcendent.

Talet e^π, kallat Gelfonds konstant, existerar dock transcendent, liksom π samt e, medan e^iπ existerar lika tillsammans heltalet −1.

Det aktuella rekordet innehas av Sharma, Suresh Kumar (Indien) som lyckades memorera 70 030 decimaler och redovisa de på 17 hr och 14 minuter

Formler var π uppträder

[redigera | redigera wikitext]

Geometri

[redigera | redigera wikitext]

π förekommer inom flera geometriska formler till cirklar, sfärer samt andra runda objekt.

Geometrisk form eller gestalt	Formel
	Omkretsen från enstaka cirkel tillsammans med radienr samt diameternd
	Arean från ett cirkel tillsammans radien r
	Arean från enstaka ellips tillsammans med halvaxlarna a samt b
	Volymen från enstaka sfär tillsammans med radien r samt diametern d
	Arean från ett sfär tillsammans med radien r
	Volymen från ett cylinder tillsammans höjden h samt radien r
	Arean från enstaka cylinder tillsammans höjden h samt radien r
	Volymen från ett kon tillsammans med höjden h samt radien r
	Arean från enstaka kon tillsammans höjden h samt radien r

180° (grader) motsvarar π radianer.

Analys

[redigera | redigera wikitext]

Talet π existerar intimt förbundet tillsammans med dem komplexa talen, vilket följer från dem trigonometriska funktionernas förekomst inom Eulers formel till den komplexa exponentialfunktionen,

Ett specialfall existerar Eulers identitet,

som kallades "den märkligaste formeln inom matematiken" från Richard Feynman till för att den knyter samman fem från dem viktigaste talen: 0, 1, e liksom existerar basen till den naturliga logaritmen, den imaginära enheten inom utifrån vilken dem komplexa talen definieras, samt π.

Vidare följer exempelvis från residysatsen till kurvintegraler för att

Arean från ett kvarts enhetscirkel ges av:

Integraler

[redigera | redigera wikitext]

Några integralformler existerar

Oändliga serier

[redigera | redigera wikitext]

Generellt existerar ett rationell multipel från till detta positiva heltalet n.

Andra oändliga serier existerar